Utilizaremos el cliente por consola de linux para mysql y la herramienta para hacer dumps de los datos mysqldump, de la siguiente forma:
mysqldump -u usuario -ppassword -d nombre_actual | mysql -u usuario -ppassword -D nuevo_nombre
Modificando el "nombre_actual" por el que tiene la base de datos y el "nuevo_nombre" por el que necesitemos habrémos cambiado el nombre a la DB. La base de datos con el nombre antiguo seguirá en mysql, si no le vas a dar un uso puedes eliminarla.